Fibonacci

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Cuando el hombre aprendió a contar, inició una larga relación con los números abstractos. A través de milenios fue descubriendo las propiedades de ciertos números y atribuyéndoles cualidades mágicas a otros. La fascinación del concepto abstracto del número ha influido en diversas formas a través de la historia.

LA SERIE

Durante la Edad Media los conocimientos matemáticos de los griegos recogidos por los árabes, tomaron nueva importancia en la cultura islámica. Portadores de la numeración hindú, que perfeccionaron para convertirla en la que llamamos “árabe” y usamos hoy, los sabios del Islam inventaron el Álgebra. A través de España. El norte de Africa y el sur de Italia, las nuevas matemáticas llegaron a Europa, donde demoraron varios siglos en ser adoptadas. Uno de los hombres que tuvo participación activa, y al que corresponde el mérito de la primera presentación de la numeración arábica en Europa, fue Leonardo de Pisa, conocido con el apodo de Fibonacci. Autor, en 1202, del Liber Abaci (Libro de los Abacos) Fibonacci, que vivió aproximadamente entre los años 1170 y 1250, dedicó un capítulo de su libro a una serie de números que le llamó la atención.

 

Se llama serie a una secuencia de en la cual la relación entre los números consecutivos es del mismo tipo. La serie más sencilla es la de los números enteros positivos cuya relación es la unidad. El primero es 1 y se obtienen todos los demás sumándole 1. Así 1 + 1 = 2 y 2 + 1 = 3, etc., etc. Una serie más compleja es la de las potencias de 2; 2, 4, 8, 16, etc. Esta serie se obtiene multiplicando por 2 cada número sucesivo, comenzando por 2. Así 2 a la potencia cero es igual a uno; 2 a la potencia 1 es igual a 2; 2 a la potencia 3 (2 x 2 x 2) es igual a 8, y así sucesivamente. Fibonacci presentó en su libro una serie especial.

3, 5, 8: LA PIÑA

La serie de Fibonacci comienza con el 1. El siguiente número se obtiene sumando los dos anteriores (0 + 1) y se obtiene 1. El tercer número se obtiene sumando los dos anteriores 1 + 1 = 2 y así sucesivamente (2 + 1 = 3; 3 + 2 = 5; etc.). La serie llega al infinito, siendo sus primeros 12 términos los siguientes: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… Esta es la llamada serie de Fibonacci, sencilla en su generación pero que resultó ser sorprendente por su múltiple presencia.

Aunque hoy nos parece natural relacionar los fenómenos naturales con números, porque la ciencia moderna cuantifica, compara y busca relaciones matemáticas, en la Edad Media, con excepción de las observaciones astronómicas de los árabes, la aplicación de las matemáticas a la ciencia estaba aún lejana. Tal vez por esta razón Fibonacci no se preocupó de encontrar un ejemplo de la mencionada serie en la naturaleza. Pero la ciencia moderna la ha encontrado en una sorprendente variedad de manifestaciones.

Si observamos las huellas que las hojas caídas de una palmera dejan en el tronco, o la estructura de una margarita o una piña, veremos que consta de espirales. A la vista aparecen espirales que giran en dos direcciones opuestas: una en el sentido del reloj y la otra en el opuesto. Si observamos el capullo de una margarita con una luna de aumento veremos que consta de minúsculas flores que componen su núcleo siguiendo las espirales descritas. La relación que guardan estas espirales es de 21 a 34 (los números consecutivos 8avo. y 9no. de la serie de Fibonacci).

Nuestra piña, por tener elementos hexagonales, forma juegos de 3 espirales, los que siguen estrictamente la siguiente relación: 5, 8, 13, 21 y 34 ciñéndose siempre a la serie de Fibonacci. La serie se repite en una gran diversidad de plantas, desde la distancia entre las ramificaciones de ciertas algas, o la disposición de las hojas alrededor de un tronco (la palmera mencionada) a la disposición de las hojas de ciertos sauces y cerezos. Pero la recurrente serie tiene otra característica intrigante.

LA REGLA DE ORO

Los estudiosos de la arquitectura y de la estética, a la cual hace tiempo se vienen intentando aplicar relaciones matemáticas, con discutible éxito, están familiarizados con lo que llaman la “Proporción de Oro”. Esta “Proporción” es una relación entre dimensiones (por ejemplo ancho y alto de una estructura) y está representada por el número 1 a 1.618.

Se ha descubierto que en los templos griegos, así como en otras obras arquitectónicas y grupos escultóricos, se ha aplicado la Regla de Oro. Es decir que la proporción entre ancho y alto, u otras dimensiones de elementos saltantes, es de 1 a 1.618. Esta es una proporción usada por el hombre, no sabemos si en su origen instintivamente, y repetida a través de los siglos en una gran variedad de sus obras. Aparentemente la regla de oro, o proporción dorada, satisface alguna necesidad estética de la mente humana. Pero resulta que 1 a 1.618 es un número de Fibonacci.

A medida que nuestra serie 1, 1, 2, 3, 4, 5, 8, etc., va progresando, la relación entre sus términos se aproxima cada vez más a un número. Basta hacer las operaciones: 5 entre 3 = 1.666; 8 entre 5 = 1.6 y 13 entre 8 = 1.625. Si saltamos un poco y dividimos el undécimo número de la serie de Fibonacci entre el décimo tenemos 89 entre 55 = 1.61818… Si vamos más adelante en la serie de Fibonacci y dividimos 377 entre 233 tenemos 1.61802… y así sucesivamente. Cuanto más grandes los números de Fibonacci la relación entre ellos es más cercana a 1.618.

Como hemos visto en los últimos números que hemos calculado, la relación es virtualmente la “dorada” de los arquitectos griegos y otros artistas, entre ellos los pintores del Renacimento. De inmediato surge la pregunta: ¿por qué?.

 

ECONOMÍA Y ESTÉTICA

La respuesta aún no existe, pero hay buenas razones para plantear una hipótesis. Al parecer la naturaleza ha escogido, o más bien ha llegado por selección,  a una proporción determinada en sus mecanismos de crecimiento. El crecimiento de las plantas o “filotaxis” (del griego: traslado de las plantas) obedece a patrones lógicos que casi siempre pueden expresarse en forma matemática. En el caso de la recurrencia de la serie de Fibonacci se sospecha que obedece al ahorro de energía, pues se cree que representa el modo más económico de producir los diversos elementos.

 

En cuanto a la regla de oro, que refleja la proporción entre las partes generadas por la serie de Fibonacci, la explicación lógica parecería ser que las proporciones que reflejan la naturaleza satisfacen una necesidad estética humana. Tal vez, aunque esto queda por determinar para los psicólogos y los filósofos, el hombre encuentra seguridad en las proporciones desarrolladas por la naturaleza, las que a través del tiempo han demostrado ser las más eficientes y confiables. Cualquiera que sea la razón por la cual la “Regla de Oro” es estéticamente placentera, y el motivo por el cual la naturaleza ha optado por la serie de Fibonacci, los números de Leonardo de Pisa son ejemplo de una antigua abstracción matemática aplicable a procesos naturales.

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3 respuestas para Fibonacci

  1. Carlos Santolalla dice:

    Don Tomás: desde hace muchos años vengo siguiendo sus artículos, primero sobre carros y luego los científicos, y soy gran admirador suyo por lo didácticos que son y por la gran variedad de temas que abarca.
    Mi admiración y mis saludos.
    Carlos Santolalla.

  2. Pilar Colomer de Ponce dice:

    Me fascinan sus investigaciones y su capacidad de síntesis para transmitirlas en sus artículos. Mi admiración y mi agradecimiento siempre. Cordial saludo, Pilar Colomer de Ponce

  3. Frank Latoche dice:

    Gracias por compartir su sapiensa en lenguaje mas humano, muy similar como hizo Carl Sagan con “Cosmos” en los 80´s

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